Сложные проценты формулы для определения. Сложный процент по вкладам

Выгода банковского вклада оценивается не только по процентной ставке. Большое влияние на доходность депозита оказывает способ начисления процентов. В финансовой сфере существует понятие простого и сложного процента. Когда применяется тот или иной метод расчета? Как осуществляется начисление процентов по каждому способу? И какой метод выгоднее для вкладчика?

Понятие простых процентов и как они рассчитываются

Простые проценты – это проценты,начисляющиеся лишь на первоначальную величину вклада, независимо от количества периодов и их продолжительности. Они считаются один раз по окончанию срока депозита. Это обозначает, что сумма процентов за предыдущий период не учитывается при расчете в следующем.

Метод расчета простых процентов основан на принципе наращения денег по арифметической прогрессии. Допустим, инвестор в начале года положил в банк на сумму 100 000 руб. под 10% годовых:

• через год он получит сумму, равную первоначально внесенным деньгам плюс начисленные проценты: 100 000 + 10 000 (чтобы высчитать процент нужно сумму вклада умножить на ставку и разделить на 100) = 110 000 (руб.);
• через 2 года сумма составит: 100 000 + (10 000 х 2) = 120 000 (руб.);
• через N лет вкладчик получит: 100 000 + (10 000 х N).

Поскольку банки указывают ставку за год, то чтобы определить доход за другой период (к примеру, 3 месяца), применяя простую ставку процентов, формула будет такой:

S = (P x I x Т / K) / 100, где:

S – сумма насчитанных процентов (руб.);

P – начальная сумма вложенных средств;

I – процентная ставка за год;

Т – срок действия вклада в днях;

K – число дней в году.

То есть при вкладе 100 000 руб. на 3 месяца под 10% годовыхвычисление простых процентовбудет выполняться так:

(100 000 х 10 х 92 / 365) / 100 = 2520,55 (руб.).

Получается, что в конце срока вкладчик получит на руки внесенные 100 000 руб. плюс 2520,55 руб. дохода, т.е. 102 520,55 руб.

Чтобы более наглядно продемонстрировать разницу по использованию простой схемы начисления процентов и сложной, данные занесены в таблицу:

При подсчете коэффициентов использовалась ежегодная капитализация процентов. Из таблицы видно, что:

• если срок вклада меньше года, то множитель, рассчитанный по формуле простых процентов, получается больше. Это даст возможность вкладчику получить больший доход, чем при использовании сложных процентов;
• когда период вклада составляет 1 год – величина коэффициентов сравнивается и является одинаковой. Это говорит о том, что доход с ежегодной капитализацией при начислении по простым процентам и сложным будет равный;
• если срок депозита более года, то коэффициент наращения по сложным процентам выше, чем при использовании обыкновенного простого процента.

Составив аналогичную таблицу с учетом проведения ежеквартальной капитализации, можно увидеть, что доход будет одинаков при вкладе на квартал. При более коротких депозитах (на месяц или два) больший доход будет получаться по простым процентам. При вкладах на срок более квартала, наоборот, выгоднее будут сложные проценты.

Этот принцип определения доходности вклада зависимо от метода вычисления процентов сохраняется и при расчетах на месяц. Подведя итог, можно сказать, что применение сложного процента выгодно, если период вклада превышает период капитализации. Иначе говоря:

• при ежегодной капитализации оформление депозита выгодно, если срок его действия больше года;
• с применением ежеквартальной капитализации сложные проценты будут выгодными только тогда, когда срок действия депозита больше 3 месяцев;

Если срок депозита меньше, чем периодичность проведения капитализации, то расчет простых процентов по вкладам получится выгоднее.

• При заключении договора помните, что банками в документах не практикуется выражение «простые» или «сложные» проценты. В договоре зачастую пишется фраза «проценты насчитываются в конце срока». А при использовании капитализации указывается, что проценты высчитываются раз в год, квартал или месяц.
• При оформлении вклада на длительный срок может возникнуть необходимость досрочного снятия денег по той или иной причине. Вклады с возможностью досрочного снятия всегда имеют более низкую ставку. В подобных случаях выигрышным может оказаться краткосрочный вклад с возможной пролонгацией и использованием сложного процента. Доход по такому вкладу может получиться больше, даже если процентная ставка по такому депозиту немного ниже.
• Быстро и точно высчитать доходность вклада можно посредством онлайн-калькулятора. Для этого после введения необходимых данных нужно поставить галочку в окне «капитализация» и выбрать период ее проведения (год, квартал или месяц).

Люди во все времена думали о своем завтрашнем дне. Они старались и стараются обезопасить от финансовых невзгод и себя, и своих детей и внуков, строя хотя бы небольшой островок уверенности в будущем. Начиная строить его уже сейчас с помощью небольших банковских вкладов, можно обеспечить себе в дальнейшем стабильность и независимость.

Основным принципом банковских операций является то, что денежные средства способны увеличиваться лишь тогда, когда находятся в постоянном обороте. Чтобы клиентам уверенно ориентироваться в сфере финансовых услуг и уметь правильно подбирать условия, выгодные им в определенный промежуток времени, необходимо знать ряд простых правил. В данной статье речь пойдет о долгосрочных вложениях, которые позволяют за определенное количество лет из относительно небольшой суммы начального капитала получить существенную прибыль или использовать вклад дальше, снимая начисления для повседневных нужд.

Для правильного расчета прибыли необходимо выполнить несложные арифметические действия на основе нижеизложенных формул.

Формула сложного процента (расчет в годах)

Например, вы решили положить 100000,00 руб. под 11% годовых, чтобы через 10 лет воспользоваться сбережениями, которые значительно выросли в результате капитализации. Для расчета итоговой суммы следует применить методику расчета сложного процента.

Применение сложного процента подразумевает то, что в конце каждого периода (год, квартал, месяц) начисленная прибыль суммируется с вкладом. Полученная сумма является базисом для последующего увеличения прибыли.

Для расчета сложного процента применяем простую формулу:

• S – общая сумма («тело» вклада + проценты), причитающаяся к возврату вкладчику по истечении срока действия вклада;
• Р – первоначальная величина вклада;
• n - общее количество операций по капитализации процентов за весь срок привлечения денежных средств (в данном случае оно соответствует количеству лет);
• I – годовая процентная ставка.

Подставив значения в эту формулу, мы видим, что:

через 5 лет сумма будет равняться руб.,

а через 10 лет она составит руб.

Если бы мы рассчитывали за короткий период, то сложный процент было бы удобнее рассчитывать по формуле

• К – количество дней в текущем году,
• J – количество дней в периоде, по итогам которого банком производится капитализация начисленных процентов (остальные обозначения – как и в предыдущей формуле).

Но тем, кому удобнее ежемесячно снимать проценты по вкладу, лучше ознакомиться с понятием «капитализация вклада», подразумевающим начисление простых процентов.

На графике показано как вырастет капитал при капитализации процентов по вкладу, если вложить 100000,00 руб. на 10 лет под 10%, 15% и 20%

Формула сложного процента (расчет в месяцах)

Существует и другой, более выгодный для клиента метод начисления и прибавления процентной ставки – ежемесячный. Для этого применяется следующая формула:

где n также соответствует количеству операций по капитализации, но уже выражается в месяцах. Процентный показатель здесь дополнительно делится на 12 потому что в году 12 месяцев, а у нас появляется необходимость в расчете месячную процентную ставку.

Если бы данная формула использовалась для поквартального начисления вклада, то годовой процент делился бы на 4, а показатель n был бы равен количеству кварталов, а если бы процент начислялся по полугодиям, то процентная ставка делилась бы 2, а обозначение n соответствовало количеству полугодий.

Итак, если бы нами был сделан вклад в сумме 100000,00 руб. с ежемесячной капитализацией процентов, то:

через 5 лет (60 месяцев) сумма вклада выросла бы до 172891,57 руб., что примерно на 10000 руб. больше, чем в случае с ежегодной капитализацией вклада; руб.

а через 10 лет (120 месяцев) «наращенная» сумма составила бы 298914,96 руб., что уже на целых 15000 руб. превосходит показатель, рассчитанный по формуле сложного процента, предусматривающей расчет в годах.

руб.

Это означает, что доходность при ежемесячном начислении процентов оказывается больше, чем при начислении один раз в год. И если прибыль не снимать, то сложный процент работает на пользу вкладчика.

Формула сложного процента для банковских вкладов

Вышеописанные формулы сложного процента – это, скорее всего, наглядные примеры для клиентов, чтобы они могли понять порядок начисления сложных процентов. Эти расчеты несколько проще, чем формула, применяемая банками к реальным банковским вкладам.

Здесь используется такая единица, как коэффициент процентной ставки для вклада (p). Его рассчитывают так:

Сложный процент («наращенная» сумма) для банковских вкладов рассчитывается по следующей формуле:

На ее основе и взяв в качестве примера те же данные, мы рассчитаем сложный процент по банковскому методу.

Для начала определяем коэффициент процентной ставки для вклада:

Теперь подставляем данные в основную формулу:

руб. – это сумма вклада, «выросшая» за 5 лет*;

руб. – за 10 лет*.

*Приведенные в примерах расчеты являются приблизительными, поскольку в них не учтены високосные года и разное количество дней в месяце.

Если сравнивать суммы из этих двух примеров с предыдущими, то они несколько меньше, но все же выгода от капитализации процентов очевидна. Поэтому, если вы твердо решили положить деньги в банк на длительный срок, то предварительный подсчет прибыли лучше делать с помощью «банковской» формулы – это поможет вам избежать разочарований.

На протяжении всей истории люди задумывались о своем будущем. Основное их желание защитить себя и своих родственников от финансовых неприятностей, обеспечив тем самым уверенность в завтрашнем дне. Начать постройку своего финансового фундамента можно уже теперь при помощи сравнительно незначительных банковских вложений. Лишь, таким образом, возможно, себе свободу и независимость.

Главным принципом банковских сделок является то, что финансовые ресурсы способные увеличиваться только когда все время находятся в обороте. Для уверенного ориентирования в сфере денежных услуг и правильном подборе наиболее выгодных условий важно знать некоторые простые принципы. Например, правила работы долгосрочных процентов, позволяющие за некоторое количество лет из сравнительно небольшой суммы стартового капитала получать серьезную прибыль.

Но для этого необходимо знать, каким образом работает сложный процент и формулы расчета сложного процента .

Проводить все расчеты следует на основе нижеописанных формул.

Что такое сложный процент по вкладам ? Сложный процент – это распространенный в экономической и финансовой отрасли эффект, когда процентная ставка по прибыли прибавляется к базовому вкладу, а полученный результат в будущем превращается в основу для начисления новых процентов.

Проценты по вложенным средствам могут прибавляться каждый день, 30 дней, квартал или год. Они могут выплачиваться в виде прибыли по окончанию периода, а могут начисляться к основному вкладу. Это значит, что в следующий раз ставка будет высчитываться на большую сумму.

Яркой иллюстрацией использования капитализации процентов является притча из Евангелия об одной бедной женщине, которая лишилась своего мужа. Во времена, когда жил Иисус Христос она принесла в его святилище свои деньги и отдала их в качестве жертвы. У нее было всего две небольшие монетки. Можно представить ситуацию, что в то время уже образовались банковские учреждения, она бы внесла 1 из своих монет в банк. Интересно, какая бы конечная сумма получилась у нее на счету сегодня, если учесть тот факт, что учреждение производит капитализацию процентов от средства, например 5% в год?

Расчеты, которые будут произведены, показывают на примере вариант применения сложного процента. Возьмем для примера ставку в 5% в год, уже после первого года хранения средств в банке вклад женщины вырастет в (1 + 0.05) раз. В последующий год расчет будет вестись уже не от копейки, а от конечной величины. Этот результат должен увеличиться еще в (1+0.05) раз. Получается, что вклад по сравнению с первоначальной суммой должен вырасти в (1+0.05)*2 раз. На третий год (1+0.05)*3.

К 2017 году изначальные средства должны увеличить в (1+0.05)*2016 раз. При стартовом капитале всего в 1 копейку уже к 2014 году результат будет больше 52 додециллионов рублей.

Например, человек решил положить средства в банк (200 000 рублей) под ежегодный процент в 10%. Для того, чтобы через 10 лет он смог воспользоваться деньгами, размер которых увеличился благодаря капитализации, нужно вычислить итоговую сумму, используя формулы расчета сложного процента.

Важно! Формула сложного процента подразумевает, что при вычислении, в конце каждого временного отрезка (месяц, год и др.) к вкладу нужно прибавлять полученную от денег прибыль. Конечное число является основой для последующих операций с увеличением средств.

Для осуществления расчетных действий можно использовать формулу:

Пояснение:

S – полная объем (сам вклад и проценты) средств, которые должны быть возвращены вкладчику по окончанию срока действия договора;

P – изначальный размер вклада;

N – сумарное количество действий по капитализации ставки за весь период использования (в этом случае оно ровно числу лет);

I – объем годовой ставки.

Если подставить выбранные значения в указанную формулу, то получается следующий пример:

Уже спустя пять лет сумма будет равна 200 000*(1+10/100)5 = 322102 рублей

Через десятилетний отрезок объем средств будет равен 200 000*(1+10/100)10 = 518748,492 рублей.

Если используется формула сложного процента с капитализацией за маленький отрезок времени, то нужные значения удобней рассчитывать по примеру:

Пояснения:

K – число дней в выбранном году;

J – число дней в отрезке, по результатам которого банковское учреждение будет проводить капитализацию начисленных процентов;

Другие переменные не изменились.

Помесячное начисление и увеличениепроцентов наиболее выгодно для клиентов. И именно этот метод многие рассматривают всерьез. Для того чтобы правильно рассчитать разработана такая формула сложных процентов .

Указаннаяn и в этом случае означает количество всех операций. Но теперь она выражается в месяцах. Показатель процентов следует разделить на 12, потому как в одном году 12 месяцев. Благодаря этому можно легко высчитать ежемесячную процентную ставку.

Эту же формулу, но с некоторыми изменениями можно отнести и к начислениям вкладов в поквартальный период. Изменения состоят в том, что процент, высчитываемый за год нужно делить не на 12, а на 4. А вышеупомянутый показатель nравняется не количествувсех операций, а совокупностикварталов. С такой же логикой можно отнестись и к начислениям процента по полугодиям. Общая формула сложных процентов по вкладам будет та же, но процентная ставка должна делиться на 2. А на количество полугодий указывает показатель n.

Например, клиент сделал вклад на сумму 100000,00 рублей. Капитализация процентов в этом случае выбрана ежемесячная. Учитывая это, по прошествии пяти лет сумма вклада вырастет до цифры в 172891,57 рублей. Если бы при первоначальном вкладе клиент выбрал ежегодную капитализацию процентов, то итоговая сумма через пять лет была бы на 10000 рублей меньше. Формула сложных процентов с капитализацией ежемесячно следующая.

Через десять лет вложенная клиентом сумма достигнет 298914,96 рублей. Если бы капитализация процентов была годовой, то указанная итоговая сумма за десять лет была бы уже на 15000 рублей меньше. Вот как рассчитывается итоговая сумма начисления ежемесячных процентов за десять лет.

Доходы во время начисления ежемесячных процентов намного превышают годовой доход. Если прибыль оставить на счету, то она и дальше будет работать на вкладчика. Вот на наглядном примере можно увидеть график, на котором указан расчет процентов в годах и в месяцах.

Именно поэтому многие граждане отдают предпочтение процентной капитализации, которая высчитывается один раз в месяц.

Вышеперечисленные формулы того как производится расчет сложных процентов по вкладу это скорей наглядный пример доступный для пониманий клиентов. Так они легко смогут осознать весь принцип начисления. В действительности формула сложного процента для банковских вкладов немного труднее.

В данном случае применяется такая мера как коэффициент процентов по вкладам (р). Он высчитывается следующим образом:

Используя сложные проценты формулу, можно высчитать проценты для различных временных периодов.

Сам процент для различного типа вкладов в банк следует рассчитывать по данной формуле:

На базе данной формулы можно на конкретном примере высчитать сложный процент, формула которого представлена выше.

руб. – это полноценная сумма имеющегося вклада, возросшая в течение пяти лет;

Руб. – этот же показатель, но уже в течение десяти лет.

Однако следует понимать, что это лишь примерные расчеты. Для вычисления важно учитывать различное количество дней в месяцах и то, что некоторые года могут быть високосными.

При сравнении показателей из двух вышеописанных примеров сим предшествующими можно будет обнаружить, что они немного меньше. Однако этого будет достаточно, чтобы оценить всю выгоду от процентов. Именно поэтому если есть твердое решение на длительное время положить деньги в банк,то предварительные расчеты лучше делать при использовании банковской формулы. Так можно будет избежать всех неточностей.

Каждый к депозитам относится по своему: одни предпочитают накапливать деньги на банковских счетах, а кому-то спится легче при понимании того, что все деньги лежат под своей подушкой.

Банки помогают заработать на собственных деньгах - они предлагают денежное вознаграждение в виде начисляемых и выплачиваемых процентов за каждый оформленный сберегательный счёт.

Если вы решили доверить свои сбережения банку, то прежде всего следует понять, сколько же можно заработать, какой банк является более надёжным и на каких условиях он предлагает размещение вкладов.

В этой статье мы остановимся на вопросе того, что представляет собой сложный процент по вкладам, и как его рассчитать.

Отличия от простого процента

Существует два вида процентов по депозитам или вкладам - простой и сложный. О первом из них говорить долго не приходится, так как простой процент довольно-таки легко посчитать.

Сложный процент - это такой вид начисления, который увеличивает на свой размер тело депозита без разрывания договора вклада. Также его называют депозитом с капитализацией.

То есть при ставке в 20% с капитализацией условие о том, что в конце периода вы получите на такой же процент больше денег, не действует.

Преимущества, которыми наделён сложный процент

Банкам не выгодны такие депозиты, так как им приходится больше платить за использование привлечённых средств. Поэтому процентные ставки по ним зачастую на порядок меньше, чем у тех вкладов, которые подразумевают простое начисление вознаграждений.

Чаще всего сложный процент представлен в депозитах с возможностью постоянного пополнения. Иногда банки пытаются завлечь и клиентов на вклады, с которых можно снимать либо вкладывать деньги в любое время. Но процентные ставки по второму виду значительно ниже, чем в депозитах, не подразумевающих частичное снятие.

Какая формула сложных процентов?

Итак, разобравшись в сути понятия, перейдём к осуществлению практических расчётов.

Предположим, что вы хотите разместить 200 тысяч рублей на депозит. Выбор пал на вклад, который подразумевает начисление сложного банковского процента с уровнем в 11% годовых.

Условия депозита включают ежемесячную капитализацию процентов. Это означает, что то количество процентов, которые полагается вам за размещение вклада в течение месяца, будет начислено и прибавлено к общей сумме первоначального вклада. А со следующего месяца проценты будут насчитываться уже на новый размер вклада.

Практический расчёт

На практике это выглядит следующим образом:

Вложим 200 тыс. рублей на депозит под 11% с ежемесячной капитализацией процентов. Получаем, что за первый месяц должно начислиться 11% ÷ 12 = 0.917%.

То есть во втором месяце она составит 201834 рублей. И таким же образом можно просчитать и остальные месяцы:

• 3 мес. - 201834 * 0.917% = 1850,82. Сумма вклада составит уже 203684.82 р.;
• 4 мес. - 203684.82 * 0.917% = 1867.11. Вклад будет равен 205551.93 р.;
• 5 мес. - 205551.93 * 0.917% = 1884.23. Тело депозита будет уже равняться 207436.16 р;
• 6 мес. - 207436.16 * 0.917% = 1901.50. Получается, что в 7 месяце депозит будет равен 209337.66 р.

Итого, к последнему месяцу года сумма сложных процентов составит 21118,33 р., а по завершении года человек получит на руки свои 223126.33 рублей. Если бы он разместил свои деньги на обычный депозит без ежемесячной капитализации, то сумма процентов составила бы 22000 рублей. Получается, что на 1126.33 рублей вклад со сложным процентом оказался выгоднее.

То есть получается, что размещать такие вклады действительно выгодно. Но это в теории, на практике, возможно, всё будет по другому из-за некоторых нюансов, которые будут описаны несколько ниже.

Как на практике сравнить сложные и простые проценты?

На практике мы встречаемся с банками, которые не желают работать себе в убыток. Согласно расчётам, которые осуществлены выше, депозиты со сложной ставкой менее выгодны для любого банка.

Этим можно объяснить разницу процентных ставок, которые предлагают финансовые учреждения в качестве награды за размещение вклада. Те депозиты, которые предполагают капитализацию, всегда имеют более низкий уровень процентов.

Вклады без капитализации всегда имеют более высокий уровень предлагаемых процентных ставок

Для того чтобы осуществить реальное сравнение, возьмём средние ставки, которые существуют на сегодняшний день.

Представим, у что Иванов К.Л. является счастливым обладателем 1 млн. рублей. Он решил разместить эти деньги в банке. Банковский сотрудник предложил ему два варианта. Первый - разместить вклад на 1 год под 10 % годовых, подразумевающий начисление сложных процентов. Второй вариант - двухлетний вклад под 11% годовых с простым начислением вознаграждений.

Какой вариант выбрать? Проведём расчёт.

Сравнение поможет реально оценить выгодность того или иного предложения

В предыдущем примере было подробно показано, как вычислять проценты за каждый месяц. В этот раз поступим проще - будет использоваться уже выведенная формула сложных процентов, которая выглядит следующим образом:

Пс = Д * (1 + Дс / 100 *Пд / По)К - Д, где:

• Д - первоначальная сумма депозита;
• Дс - процентная ставка по вкладу;
• Пд - количество дней в периоде (зачастую 30 календарных дней);
• По - общее количество дней в периоде, на который заключён депозитный договор;
• К - количество периодов, в которых будет производится перечисление процентов к телу депозита.

Согласно формуле, вычислим, какие же сложные годовые проценты в нашем примере:

Пс = 1 000 000 *(1 + 10* / 100 * 30 / 365)12 - 1 000 000 = 103 213.20р.

Если Иванов К.Л. выберет второй вариант, то получит следующую сумму процентов через год:

Пп = 1 000 000 * 0,11 = 110 000 р.

Как видно, даже разница в 1% существенно влияет на уровень отличия вознаграждений у вкладов с капитализацией и без. Конечно же, если бы уровень процентов был одинаковым, то капитализация всегда выгодней. Но реальность такова, что банки сознательно занижают проценты по таким вкладам, чтобы не нести убытки.

Депозит не способ заработать деньги, а возможность сохранить ценность собственного капитала

Конечно, сложный процент по вкладам позволяет их владельцам зарабатывать больше денег за отведённую единицу времени. На примерах, которые указаны выше, видна разница в сумме полученного вознаграждения.

Но нужно учитывать темпы инфляции, рост или падение экономики. В современной ситуации экономисты придерживаются того мнения, что депозиты лишь помогают справиться с факторами, влияющими на процесс обесценивания денег.

Безусловно, банковские учреждения предоставляют гарантии по защите ваших денег, и такой способ намного лучше, чем хранить ценности под матрасом, но если вы хотите с помощью капитала создать новый капитал, то нужно выбирать инвестирование.

Если вы уже точно определились в том, какой вид счёта вам нужен, не принимайте поспешных решений. Даже если депозит с капитализацией процентов имеет очень привлекательную процентную ставку, стоит оценить все риски, которые могут возникнуть. Репутация банка в данном вопросе игрет большую роль, которая говорит о надёжности учреждения.

Для примера можно сказать, что за границей всем людям чужды процентные ставки по депозитам, такие как в России. Точно так же они относятся и к ставкам по кредитам. Там считается нормальным их уровень в районе 1-2 процентов. В связи с этим они воспринимают банки исключительно как средство сбережения своих средств.

. База для начисления сложных процентов в отличие от простых не остается постоянной – она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсолютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые про центы на один период начисления ( running period ). Присоедине ние начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов.

Найдем формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (годовые проценты). Для этого применяется сложная став ка наращения. Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым про центам:

P - первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капита ла и т.д.),

S - наращенная сумма на конец срока ссуды,

п - срок, число лет наращения,

i - уровень годовой ставки процентов, представленный де сятичной дробью.

Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине Р i , а наращенная сумма составит. К конц у второго года она достигнет величины В конце n -го года наращенная сумма будет равна

(4.1)

Процентыза этот же срокв целом таковы:

(4.2)

Часть из них поучена за счет начисления процентов на проценты. Она составляет

(4.3)

Как показано выше, рост по сложным процентам представ ляет собой процесс, соответствующий геометрической прогрессии, первый член которой равен Р , а знаменатель – . Последний член прогрессии равен наращенной сумме в конце срока ссуды.

Величину называют множителем наращения по сложным процентам. Значения этого множителя для целых чисел п приводятся в таблицах сложных процентов. Точность расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля и т.д.).

Время при наращении по сложной ставке обычно измеряет ся как АСТ/ A СТ.

Как видим, величина множителя наращения зависит от двух параметров - i и п. Следует отметить, что при большом сроке наращения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на величину множителя. В свою очередь очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке.

Формула наращения по сложным процентам получена для годовой процентной ставки и срока, измеряемого в годах. Однако ее можно применять и при других периодах начисле ния. В этих случаях i означает ставку за один период начисления (месяц, квартал и т.д.), а n – число таких периодов. На пример, если i –ставка за полугодие, то п – число полугодий и т.д.

Формулы (4.1) - (4.3) предполагают, что проценты на про центы начисляются по той же ставке, что и при начислении на основную сумму долга. Усложним условия начислений процен тов. Пусть проценты на основной долг начисляются по ставке i а проценты на проценты – по ставке В этом случае

Ряд в квадратных скобках представляет собой геометриче скую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем. В итоге имеем

(4.4)

· Пример 4.1

2. Начисление процентов в смежных календарных периодах. Вы ше при начислении процентов не принималось во внимание расположение срока начисления процентов относительно календарных периодов. Вместе с тем, часто даты начала и окончания ссуды находятся в двух периодах. Ясно, что начисленные за весь срок проценты не могут быть отнесены только к послед нему периоду. В бухгалтерском учете, при налогообложении, наконец, в анализе финансовой деятельности предприятия воз никает задача распределения начисленных процентов по периодам.

Общий срок ссуды делится на два периода n 1 и n 2 . Соответственно ,

где

· Пример 4.2

3. Переменные ставки. Формула предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модернизировать “классическую” схему, например, с помощью применения плавающих ставок ( floating rate ). Естественно, что расчет на перспективу по таким ставкам весьма условен. Иное дело - расчет постфактум. В этом случае, а также тогда, когда измене ния размеров ставок фиксируются в контракте, общий множитель наращения определяется как произведение частных, т.е.

(4.5)

где - последовательные значения ставок; - периоды, в течение которых “работают” соответствующие ставки.

· Пример 4.3

4. Начисление процентов при дробном числе лет. Часто срок в го дах для начисления процентов не является целым числом. В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления. Дробная часть периода отбрасывается. В большинстве же случаев учитывается полный срок. При этом применяют два метода. Согласно первому, назовем его общим, расчет ведется по формуле:

(4.6)

Второй, сме шанный, метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов:

,(4.7)

где – срок ссуды, а - целое число лет, b - дробная часть года.

Аналогичный метод применяется и в случаях, когда перио дом начисления является полугодие, квартал или месяц.

При выборе метода расчета следует иметь в виду, что мно житель наращения по смешанному методу оказывается несколько больше, чем по общему, так как для п < 1 справедли во соотношение

Наибольшая разница наблю дается при b = 1/2.

· Пример 4.4

5. Сравнение роста по сложным и простым процентам. Пусть временная база для начисленияодна и та же, уровень процентных ставок совпадает, тогда:

1) для срока меньше года простые проценты больше сложных

2) для срока больше года

3) для срока 1 год множители наращения равны друг другу

Используя коэффициент наращения по простыми сложным процентам можно определить время, необходимое для увеличенияпервоначальной суммы в n раз. Для этого необходимо, что быкоэффициенты наращениябыли равны величине n :

1) для простых процентов

2) для сложных процентов

Формулы дляудвоениякапитала имеют вид: